已知函数f（x）=[1/2]x2-alnx（a∈R）．

解题思路：（1）a=2时，f（x）=[1/2]x²-2lnx，从而f′（x）=x-[2/x]，求出k=f′（1）=-1，和f（1）=[1/2]，进而求出切线方程，
（2）函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，则f′（x）=x-[a/x]≥0在x∈（1，+∞）恒成立，即a≤x²在x∈（1，+∞）恒成立，故a≤1，
（3）f′（x）=x-[a/x]，分别讨论①a＜0时②a＞0时的情况，从而得出结论．

（1）a=2时，f（x）=[1/2]x²-2lnx，
∴f′（x）=x-[2/x]，
∴k=f′（1）=-1，
又∵f（1）=[1/2]，
∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：
2x+2y-3=0，
（2）函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，
则f′（x）=x-[a/x]≥0在x∈（1，+∞）恒成立，
即a≤x²在x∈（1，+∞）恒成立，
故a≤1，
经检验，符合题意，
∴a≤1；
（3）f′（x）=x-[a/x]，
①a＜0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）是增函数，
取x₁=1，x₂=e
1
e，
由f（1）＞0，f（e
1
e）＜0，
得a＜0时，方程f（x）=0有唯一解，
②a＞0时，f′（x）=x-[a/x]=
(x+
a)(x−
a)
x，
∴f（x）在（0，
a）递减，在（
a，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（
a）=[1/2]a（1-lna），
0＜a＜e时，f（

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考察了求曲线的切线方程，函数的单调性，求参数的范围，方程根的情况，导数的应用，是一道综合题．