已知函数f（x）=[1/2]x2-alnx（a∈R）

解题思路：（1）根据切线的斜率为1，得到f'（2）=1，解之得a=2；从而得到f（x）=[1/2]x²-2lnx，算出切点坐标为（2，2-2ln2），再代入直线y=x+b，即可求出实数b的值．
（2）根据题意，f'（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，由此得到关于x的不等式a≤x²在（1，+∞）上恒成立，再讨论x²的取值范围，即可得到a的取值范围．

（1）∵f（x）=[1/2]x²-alnx，∴f'（x）=x-[a/x]，其中（x＞0）
∵f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b
∴f'（2）=2-[a/2]=1，解之得a=2，
由此可得函数表达式为f（x）=[1/2]x²-2lnx，得f（2）=2-2ln2
∴切点（2，2-2ln2）在直线y=x+b上，可得2-2ln2=2+b，解之得b=-2ln2
综上所述，a=2且b=-2ln2；
（2）∵f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴f'（x）≥0，即x-[a/x]≥0在（1，+∞）上恒成立
结合x为正数，可得a≤x²在（1，+∞）上恒成立
而在区间（1，+∞）上x²＞1，故a≤1
∴满足条件的实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题给出含有二次式和对数式的基本函数，求函数图象的切线并讨论不等式恒成立，着重考查了运用导数研究函数的单调性和导数的几何意义等知识，属于中档题．

f'(x) = x - a/x
f'(2) = 1, so 2-a/2 = 1, a = 2
f(2) = 2 - 2ln2
切线方程 y = x + b = 2-2ln2, so b = -2ln2
2. if f'(x) > 0 when x >= 1
x-a/x >= 0
x^2 - a >=0
a <= x^2
so a <= 1