关于抛物线的难题过抛物线y^2=2px的焦点的一条直线与它交于P,Q两点,过点P和此抛物线顶点的直线与准线交于M,求证直

答：证明M点和Q点纵坐标相同即是命题.
① 求M点纵坐标：
设P点坐标是(t²/2p,t),t是参数.
PM斜率 k=t²/2pt = t/[t²/2p]=2p/t
PM直线方程：y = 2p/t x
准线x=-p/2
y = 2p/t * (-p/2) = -p²/t
② 求Q点纵坐标y`：
通过焦点的直线与抛物线交点y1和y2满足：
y1y2 = - p²
所以：
y`*t = -p²
y` = -p²/t
M点和Q点纵坐标相等.
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y1y2 = -p² 的证明：
y² = 2px
y = k(x - p/2)
(x - p/2)² = 2px/k²
x² -(p + 2p/k²)x + p²/4 = 0
x1x2 = p²/4
(2px1)(2px2)=p^4
y1²y2² =p^4
y1y2 = + - p² (y1、y2符号相反)
y1y2 = -p²
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A（x1，y1）B(x2，y2)
Q点坐标是（-p/2，-py1/2x1）（你应该能算出来）
又y1y2=-p^2且2x1=y1^2/p
所以-py1/2x1=y2

证明：易知，F(p/2,0),抛物线对称轴为y轴，即直线y=0.准线为x=-p/2.可设P(2pm^2,2pm),Q(2pn^2,2pn).M(-p/2,y).由P,F,Q共线知，4mn=-1.再由P,O,M共线知，y=-p/(2m).===>y=2pn.===>M(-p/2,2pn),Q(2pn^2,2pn).===>直线MQ的方程为y=2pn,显然与y轴平行。证毕。

楼上的同学：你太棒了！你得这50分是应该的，比那轻松得80分的人值得。你的思路很好。只是有一点瑕疵，你说的Q点的坐标，应该是题中所说的与准线的交点M。除此，都很好。
过程中，求M的坐标尚容易，求Y1Y2=-P^2可是个麻烦事。是个大手笔，不知你怎样求的？有简单方法吗？
你们都很棒，第二位同学在求y1y2时，用韦达定理求得X1X2，比我省事多了。我应该向你们学习！...