已知函数f(x)=(ax^2-1)/(x+1) (a>0)存在极值 设函数f(x)的极小值为g(a) 求证：-2

已知函数f(x)=(a*x^2-1)/(x+1) (a>0)存在极值.
（1）如果函数f(x)在区间(-1/2,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围；
（2）设函数f(x)的极小值为g(a),求证：-20,h(x)=a*x^2+2*a*x+1=a*(x+1)^2+1-a≥1-a,欲使h(x)有零点,需且只需h(x)的最小值h(-1)=1-a≤0,即a≥1.
又h(x)的两个零点不能都是-1,否则f'(x)没有零点,所以h(x)的顶点不能是(-1,0),即h(-1)=1-a≠0,a≠1.
所以a>1.
也可以这样计算：
因为f(x)存在极值,故f'(x)必存在零点（h(x)的两个零点不能都是-1）,所以h(x)=0的判别式Δ≥0,且当Δ=0时,h(-1)≠0.
Δ=4*a^2-4a,令Δ≥0得,a≤0或a≥1.
根据已知条件a>0,所以a≥1.
当a=1时,Δ=0,h(x)=x^2+2x+1,h(-1)=0,不符合要求.
所以a>1.
（1）f(x)在区间(-1/2,+∞)内单调递增,故f'(x)在区间(-1/2,+∞)内恒为正,所以f'(x)的零点≤-1/2,即h(x)的零点≤-1/2.
由于a>1>0,h(x)的开口向上,Δ≥0,
所以h(x)的对称轴≤-1/2,h(-1/2)≥0,
即-1≤-1/2,a*(-1/2)^2+2*a*(-1/2)+1≥0,
即-(3/4)*a+1≥0,因为a>0,所以a≤4/3.
又因为a>1,所以,a的取值范围为(1,4/3].
（2）因为f''(x)=2*(a-1)/(x+1)^3,分子2*(a-1)>0,所以,当x>-1时,f''(x)>0；当x0,f(x)递增,所以f(x2)≤f(-1/2)=-4/3.等号当且仅当x=-1/2,即a=4/3时成立.

f'(x)=[2ax*(x+1)-(ax²-1)]/(x+1)²=(ax²+2ax+1)/(x+1)²
（1）如果函数f(x)在区间（-0.5，+无穷大）上单调递增
则ax²+2ax+1>0
即方程ax²+2ax+1=0无实数解
判别式=(2a)²-4a<0
4a(a-1)<0
解...