（2010•石家庄二模）在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正

（2010•石家庄二模）在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为______；
（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为______；位置关系为______．

紫絮飘然love 1年前已收到1个回答举报

cl31853 幼苗

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解题思路：（1）根据利用正方形的性质和直角三角形的性质即可判定四边形BEOF为正方形，从而得到结论；
（2）当移动到点P的位置时，可以通过证明四边形BEPF为矩形来得到两条线段的数量关系；
（3）继续变化，有相同的关系，其证明方法也类似．

（1）由题意得：
∠BAC=∠BCA=45°，AO=PA，
∠AEO=∠AFO，
在△AEO和△CFO中

∠OEA＝∠OFC
∠EAO＝∠FOC
AO＝CO，
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴OE=OF（相等）；（1分）

（2）OE=OF，OE⊥OF；（3分）
证明：连接BO，
∵在正方形ABCD中，O为AC中点，
∴BO=CO，BO⊥AC，∠BCA=∠ABO=45°，（4分）
∵PF⊥BC，∠BCO=45°，
∴∠FPC=45°，PF=FC．
∵正方形ABCD，∠ABC=90°，
∵PF⊥BC，PE⊥AB，
∴∠PEB=∠PFB=90°．
∴四边形PEBF是矩形，
∴BE=PF．（5分）
∴BE=FC．
∴△OBE≌△OCF，
∴OE=OF，∠BOE=∠COF，（7分）
∵∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∴∠EOF=90°，
∴OE⊥OF．（8分）

（3）OE=OF（相等），OE⊥OF（垂直）．（10分）

点评：
本题考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；平移的性质．

考点点评：本题考查了正方形的性质，解题的关键是抓住动点问题，化动为静，还要大胆的猜想．

1年前

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