（2010•石家庄二模）知识回顾：

（2010•石家庄二模）知识回顾：
（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，我们把△DEF称为△ABC的中点三角形．则S△DEF：S△ABC=______；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，我们把四边形EFGH称为正方形ABCD的中点四边形，此时四边形EFGH的形状是______，S四边形EFGH：S四边形ABCD=______；
（3）实践探究：
如图3，在正五边形ABCDE中，若点F、G、H、M、N分别是边AB、BC、CD、DE、EA的中点，则中点五边形FGHMN的形状是______；若正五边形ABCDE的中心为点O，连接OE、ON，求S五边形FGHMN：S五边形ABCDE的值．

（4）拓展归纳：
在正n边形A1A2 …An中，若点B1、B2 …Bn分别是边A1A2、A2A3、…、AnA1的中点，则中点n边形B1B2 …Bn的面积与正n边形A1A2 …An的面积之比为Sn边形B1B2…Bn：Sn边形A1A2…An=
sin2[
90(n−2)
n
]°（或cos2(
180
n
)°）
sin2[
90(n−2)
n
]°（或cos2(
180
n
)°）
．
yumenl 1年前 已收到1个回答 举报
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酒杯敲钢琴 幼苗

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解题思路：（1）利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似且相似比为1：2，故面积为1：4；
（2）易得四边形EFGH为正方形，且面积等于原正方形的面积的一半；
（3）可以利用全等三角形证得五边形为正五边形，设OE交NM于点K，则可得∠ONE=90°，∠OKN=90°，证得△KON∽△NOE，利用面积的比等于相似比的平方，相似比恰恰是∠EON的余弦值，从而得到结论；
（4）按照（3）总结的规律即可得到∠EON为
180°
n]，从而得到结论．

（1）1：4；（1分）
（2）正方形；1：2；（3分）
（3）实践探究：正五边形．（4分）
设OE交NM于点K，则可得∠ONE=90°，∠OKN=90°，
又∵∠NOE为公共角，
∴△KON∽△NOE．
设△KON的面积为S1，△NOE的面积为S2，
则
S1
S2＝(
ON
OE)2．（6分）
∵∠OEN＝
1
2∠MEN=[1/2×
(5−2)×180°
5＝54°，
∴∠EON=36°．
∴
S1
S2＝(
ON
OE)2=sin254°（或cos236°）．
∴S五边形FGHMN：S五边形ABCDE=S1：S2=sin254°（或cos236°）（8分）
（4）拓展归纳：Sn边形B1B2Bn：Sn边形A1A2An=sin2[
90(n−2)
n]°（或cos2(
180
n)°）（10分）

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理；正方形的性质；正多边形和圆；解直角三角形．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，是一道综合性较强的题目，难度较大．

1年前

7
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