如图.在梯形ABCD中,AD∥BC,点P式BC上的一个动点PE⊥AB,PF⊥CD,CM⊥AB,垂足分别为E,F,M
如图.在梯形ABCD中,AD∥BC,点P式BC上的一个动点PE⊥AB,PF⊥CD,CM⊥AB,垂足分别为E,F,M
（1）当点P运动到BC的中点时,PE=PF,那么梯形ABCD是等腰梯形吗?说明理由.
（2）若AB=CD,则PE,PF,CM三者之间存在怎样的数量关系,并说明你的理由.
（1）当点P运动到BC的中点时,PE=PF,那么梯形ABCD是等腰梯形吗?说明理由.
（2）若AB=CD,则PE,PF,CM三者之间存在怎样的数量关系,并说明你的理由.
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1、
∵PE=PF、PB=PC
∴RT△BPE≌RT△CPF (HL)
∴∠B=∠C
∴梯形ABCD是等腰梯形
2、 (相似学过吗?)
∵△BPE∽△BCM (这个相似很简单,就不证了)
∴PE/CM = BP/BC …………①
∵AB=CD (等腰梯形)
∴∠B=∠C
又∵∠BEP=∠CFP = 90°
∴△BEP∽△CFP
∴PE/PF = BP/CP
∴PE/(PE+PF) = BP / (BP+CP) (比例性质)
即PE/(PE+PF) = BP / BC …………②
由①②,得
PE/(PE+PF) = PE/CM
∴PE+PF = CM
∵PE=PF、PB=PC
∴RT△BPE≌RT△CPF (HL)
∴∠B=∠C
∴梯形ABCD是等腰梯形
2、 (相似学过吗?)
∵△BPE∽△BCM (这个相似很简单,就不证了)
∴PE/CM = BP/BC …………①
∵AB=CD (等腰梯形)
∴∠B=∠C
又∵∠BEP=∠CFP = 90°
∴△BEP∽△CFP
∴PE/PF = BP/CP
∴PE/(PE+PF) = BP / (BP+CP) (比例性质)
即PE/(PE+PF) = BP / BC …………②
由①②,得
PE/(PE+PF) = PE/CM
∴PE+PF = CM
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2
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