设函数f(x)=(x-1)e^x-kx^2(k€R)

设函数f(x)=(x-1)e^x-kx^2 (1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间 (2)当k属于(1/2,1]时，求函数f(x)在[0,k]上的最大值M (1)解析：∵函数f(x)=(x-1)e^x-kx^2 令k=1==> f(x)=(x-1)e^x-x^2 令f’(x)=xe^x -2x=0==>x1=0，x2=ln2 f’’(x)=(1+x)e^x-2==> f’’(x1)=-1<0，f’’(x2)=2ln2>0 ∴函数f(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值； ∴x∈(-∞,0)时，f(x)单调增；x∈[0,ln2)时，f(x)单调减；x∈[ln2,+∞)时，f(x)单调增； (2)解析：∵f(x)=(x-1)e^x-kx^2 令f’(x)=xe^x -2kx=0==>x1=0，x2=ln(2k) f’’(x)=(1+x)e^x-2k==> f’’(x1)=1-2k，f’’(x2)=2kln(2k)>0 ∴函数f(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值； ∵k∈(1/2,1]时 ∴函数f(x)在x=0处取极大值-1，在x=ln(2k)处取极小值kln(2k)-2k； ∵x∈[0,k] f(k)=(k-1)e^k-k^3 当k=1时，f(1)=-1=f(0) ∴函数f(x)在[0,k]上的最大值M=f(k)=(k-1)e^k-k^3