已知二次函数g(x)的图象经过坐标原点，且满足g(x+1)=g(x)+2x+1，设函数f(x)=mg(x)-ln(x+1

(Ⅰ)设g(x)=ax ² +bx+c，g(x)的图象经过坐标原点，所以，c=0，
∵g(x+1)=g(x)+2x+1，
∴a(x+1) ² +b(x+1)=ax ² +bx+2x+1，
即：ax ² +(2a+b)x+a+b=ax ² +(b+2)x+l，
∴a=1，b=0，g（x)=x ² 。
(Ⅱ)函数f(x)=mx ² -ln(x+1)的定义域为（-1，+∞），
令ψ(x)=2mx ² +2mx-1，
由已知f′(x)≤0在（-1，+∞）上恒成立，
即ψ(x)=2mx ² +2mx-l≤0在（-1，+∞）上恒成立，
①当m＞0时，不符合条件；

②当m＜0，ψ(x)的图象如下，

只需 ，
即 ，
∴m≥-2，
综上：-2≤m＜0。
(Ⅲ)由已知
①ψ(1)=4m-1≤0时，即0＜m≤ 时，f(x)′≤0在[0，1]上恒成立，
f(x)在[0，1]上递减，f(x) _max =f(0)=0；
②当m＞ 时，

，设 ，
则f（x）在 ，
f(0)=0，f(1)=m-ln2，
当 ＜m＜ln2时，f(x) _max =f(0)=0；
当m≥ln2时，f(x) _max =f(1)=m-ln2；
综上：0＜m＜ln2时，f(x) _max =f(0)=0；m≥ln2时，f(x) _max =f(1)=m-ln2．