将2008分成若干个自然数的和,并使这些数的乘积最大,应如何分拆?

你好,解析如下：
‘首先可以证明当n≥4时,n都可以拆分成两个自然数a和b之和,满足n=a+b,有n≤ab.
证明：当n=2k≥4时,k≥2,k∈N,n=k+k,k²=2k+k²-2k=2k+k(k-2)
因为k≥2,所以k(k-2)≥0,即k²≥2k,于是取a=b=k,n=2k≤k²=ab.
当n=2k-1≥4时,k≥3,k∈N,n=k+k-1,k(k-1)=k²-k=2k-1+k²-3k+1=2k-1+k(k-3)+1
因为k≥3,所以k(k-3)≥0,即k(k-1)≥2k-1,于是取a=k,b=k-1,n=2k-1≤k(k-1)=ab. 证毕
于是在2008的自然数拆分中,要想使这些自然数的乘积最大,就不能出现4以上的数（包括4,不包括也是一样,因为4=2+2,4=2×2）,又拆分数中如果有1,1乘以任何数的乘积不变,而1又会让其他拆分数变小,所以也不能有1,从而需将2008拆分成若干个2、3的和.
假设将2008拆分成y个2和x个3的和,则2008=2y+3x,这些数的积为2^y*3^x,x∈N,y∈N.
由2008=2y+3x,得y=1004-3x/2,令y≥0,得x≤2008/3,即x≤669,x∈N.
又2y=2008-3x为偶数,得出3x为偶数,即x为偶数,所以x≤668,且x=2k,k∈N.
所以上述积为f(x)=2^(1004-3x/2)*3^x=2^1004*(3/2^(3/2)^x=2^1004*(3√2/4)^x,
由于3√2/4>1,所以指数函数(3√2/4)^x是单调递增函数,从而f(x)也是单调递增函数.
所以当x=668时,f(x)最大.此时y=2,maxf(x)=2^2*3^668=4*3^668.
将2008分成2个2和668个3的和(或1个4和668个3的和),得到的这些自然数的乘积最大,
为4*3^668
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