（2011•开封一模）已知函数f(x)=lnx-12ax2+bx（a＞0）且f′（1）=0，

解题思路：（1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，利用f′（1）=0，代入导函数化简即可得到a与b的关系式，用a表示出b；然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；
（2）因为A与B在函数图象上，所以把A和B的坐标分别代入函数解析式中得到关于两点纵坐标的两个关系式，利用斜率的算法表示出斜率k，然后利用中点坐标公式根据A和B的横坐标表示出中点G的横坐标，并把求出的G横坐标的值代入导函数，利用反证法证明，方法是：假设表示出的斜率k等于G的横坐标在导函数的函数值，化简后令t=

x1

x2

，u（t）=lnt-[2t−2/t+1]，求出u（t）的导函数，判断出导函数大于0得到u（t）为增函数，得到u（t）小于0与题意矛盾，所以假设错误，故f′（x₀）≠k．

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=[1/x-ax+b=0，
∴b=a-1，∴f′（x）=
1
x-ax+a-1=-
(ax+1)(x-1)
x]，
当f′（x）＞0时，得-
(ax+1)(x-1)
x＞0，
∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
当f′（x）＜0时，得-
(ax+1)(x-1)
x＜0，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，
；∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；

（2）因A、B在f(x)=lnx-
1
2ax2+bx(a＞0)的图象上，
∴y1=lnx1-
1
2ax12+(a-1)x1，y2=lnx2-
1
2ax22+(a-1)x2，
∴K=
y2-y2
x2-x1=
lnx2-lnx1
x2-x1-
1
2a(x2+x2)+a-1，
∵x0=
x2+x1
2，f′(x)=
1
x-ax+a-1，
∴f′(x0)=
2
x2+x2-a•
x2+x2
2+a-1，
假设k=f′（x₀），则得：
lnx2-lnx1
x2-x1-
1
2a(x2+x2)+a-1=
2
x2+x2-a•

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题．