已知关于x，y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0．

解题思路：（1）由方程C：x²+y²-2x-4y+m=0变为（x-1）²+（y-2）²=5-m．当5-m＞0表示圆，解出即可．
（2）利用点到直线的距离可得：圆心（1，2）到直线l的距离d，利用(

|MN|

2

)2+d2＝r2．即可解得m．
（3）如图所示，圆心（1，2）到直线l的距离d=

|c−3|

5

，假设存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为

5

5

，必须满足1−

|c−3|

5

＞

5

5

，解出即可．

（1）由方程C：x²+y²-2x-4y+m=0变为（x-1）²+（y-2）²=5-m．
当5-m＞0即m＜5时，方程C表示圆．
（2）圆心（1，2）到直线l的距离d=
|1+4−4|

5=
1

5，
∵弦长|MN|=
4
5
5，∴(
|MN|
2)2+d2＝r2．∴(
2
5
5)2+(
1

5)2＝5−m，解得m=4．
故m=4．
（3）如图所示，圆心（1，2）到直线l的距离d=
|1−4+c|

5=
|c−3|

5，
假设存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为

5
5，
必须1−
|c−3|

5＞

5
5，化为|c−3|＜
5−1，∴1−
5＜c−3＜
5−1，
解得4−
5＜c＜2+
5．
因此存在c∈(4−
5，2+
5)，满足条件．

点评：
本题考点： 直线与圆的位置关系；二元二次方程表示圆的条件．

考点点评： 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长公式、勾股定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．