已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求y=f（x2-2）的值域．

解题思路：因为是二次函数可设f（x）=ax²+bx+c，然后利用f（0）=0可求得c=0，再结合f（x+1）=f（x）+x+1恒等列出a，b，c的方程组求解；求y=f（x²-2）的值域，只需利用换元法，令t=x²-2≥-2，即转化为求函数f（t）=at²+bt+c在[-2，+∞）上的值域．

设函数f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=0，所以c=0，
即f（x）=ax²+bx，
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+2ax+a+bx+b=f（x）+x+1=ax²+bx+x+1，
消去相同项得2ax+a+b=x+1
即2a=1，a+b=1，
解得a=b=[1/2]，
∴f（x）=[1/2x2+
1
2x=
1
2(x+
1
2)2−
1
8]，该函数在（-∞，-[1/2]）上递减，在[−
1
2，+∞）上递增，
对于函数求y=f（x²-2），令t=x²-2≥-2，所以要求函数y=f（x²-2）值域，即求函数y=f（t）在[-2，+∞）上的值域，
所以f（t）≥f（−
1
2）=-[1/8]，
所以函数y=f（x²-2）的值域为[-[1/8]，+∞）．

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用；函数的值．

考点点评： 本题考查利用待定系数法求函数解析式的方法，一般是由已知条件列出待定系数的方程组求解，在求此例中，要注意恒等式知识的应用，求值域的方法用的是换元法，实际上用了转化思想求解．

设f(x)=ax²+bx+c，则：
f(0)=c=0
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
=ax²+(2a+b)x+a+b+c
f(x)+x+1=ax²+(b+1)x+c+1
因此：
ax²+(2a+b)x+a+b+c = ax²+(b+1)x+c+1...

f(x)是二次函数,若f(0)=0,
于是可以设
f(x)=ax²+bx
还有f(x+1)=f(x)+x+1
也就是
a(x+1)²+b(x+1)=ax²+bx+x+1
化简就是
(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1
于是各项对应相等，即
2a+b=b+1
a+b=1

解由f(0)=0
设y=ax²+bx
则f(x+1)=a（x+1)²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b
而f(x)+x+1=ax²+（b+1）x+1
即2a+b=b+1，a+b=1
即a=1/2,b=1/2
即f（x）=1/2x²+1/2x
令t=x^(-2)，则t＞0
即y=f(x^-2)=f（t）=1/2t²+1/2t=1/2(t+1/2)²-1/8≥-1/8