已知曲线S：y＝−23x3+x2+4x及点P（O，0），则过点P的曲线S的切线方程为y=4x或y＝358xy=4x或y＝

设曲线S：y＝−
2
3x3+x2+4x与过点P（0，0）的切线相切于点A（x₀，−
2
3x03+x02+4x0），
则切线的斜率 k=y′
| x＝x0=-2x₀²+2x₀+4，
∴切线方程为y-（−
2
3x03+x02+4x0）=（-2x₀²+2x₀+4）（x-x₀），
∵点P（0，0）在切线上，
∴
2
3x03−x02−4x0=2x₀³-2x₀²-4x₀，即[4/3]x₀³-x₀²=0，
解得x₀=0或x₀=[3/4]，所以切线的斜率为：4或[35/8]
故所求的切线方程为：y=4x或y＝
35
8x．
故答案为：y=4x或y＝
35
8x．