（2012•江西模拟）已知直线y＝−2x−23与曲线f(x)＝13x3−bx相切．

解题思路：（1）先求出导函数f'（x），设出切点（x₀，y₀），然后根据在x=x₀的导数等于切线的斜率，切点在切线和函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出b的值；
（2）①构造函数 h(x)＝f(x)−x2−m＝

1

3

x3−x2−3x−m，利用导数研究函数h（x）的单调性，转化成使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，建立关系式，解之即可求出m的范围．②做差比较较x₁x₂+9与3（x₁+x₂）的大小．

（1）∵f(x)＝
1
3x3−bx，∴f'（x）=x²-b
设切点为（x₀，y₀），依题意得


1
3
x30−bx0＝y0
y0＝−2x0−
2
3

x20−b＝−2
解得：b=3
（2）设h(x)＝f(x)−x2−m＝
1
3x3−x2−3x−m
则h'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）．
1令h'（x）=023，得x=-14或x=35在（0，3）6上，h'（x）＜07，
故h（x）在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上，h'（x）＞0，
故h（x）在（3，+∞）上单调递增，
若使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，
则需

h(0)＝−m＞0
h(3)＝−9−m＜0，∴-9＜m＜0
此时存在x＞3时，h（x）＞0，例如当x=5时，h＝
125
3−25＝15−m＝
5
3−m＞0．
∴①所求m的范围是：-9＜m＜0．
②由①知，方程f（x）=x²+m2在（0，+∞）3上有两个解x₁，x₂，
满足0＜x₁＜3，x₂＞3，x₁x₂+9-3（x₁+x₂）=（3-x₁）（3-x₂）＜0，
x₁x₂+9＜3（x₁+x₂）．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数与方程的综合运用等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．