21．设函数f(x)＝log3(x2−4mx+4m2+m+1m−1)，其中m是实数，设M={m|m＞1}

解题思路：（1）对数的真数构造函数通过m＞1，推出对数的真数大于0，所以当m∈M时，f（x）对所有实数x都有意义；通过f（x）对所有实数x都有意义，求出m的范围说明m∈M．（2）利用基本不等式以及函数的单调性直接求解即可．（3）通过函数的最小值以及函数的单调性，直接判断对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1．

（1）函数f(x)＝log3(x2−4mx+4m2+m+
1
m−1)，
令t=x2−4mx+4m2+m+
1
m−1
若m＞1，则[1/m−1＞0，∴t＞0．
若t＞0，则△=（4m）²-4（4m²+m+
1
m−1]）=−
4(m2−m+1)
m−1＜0，
∵m²-m+1=（m-[1/2]）²+[3/4]＞0，
∴m＞1，即m∈M．
（2）当m∈M时，t=x2−4mx+4m2+m+
1
m−1
=（x-2m）²+m+[1/m−1]≥m+[1/m−1]，（x=2m时取等号）．
又函数y=log₃t在定义域上是增函数，
∴x=2m时f（x）有最小值log₃（m+[1/m−1]）．
（3）∵m+[1/m−1]=m-1+[1/m−1]+1，
又m＞1，∴m-1+[1/m−1]+1≥3，当且仅当m-1=[1/m−1]，即m=2时取等号．
又函数y=log₃t在定义域上是增函数，
所以log₃（m+[1/m−1]）≥1，
∴对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1．

点评：
本题考点： 函数最值的应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．

考点点评： 本题考查函数的单调性，函数的最小值的求法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，计算能力．