已知函数f(x)＝a3x3−12(a+1)x2+x−13．

解题思路：（1）求导函数，利用函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，即可求实数a，b的值；
（2）分类讨论，利用导数小于0，可得f（x）的单调减区间；
（3）求导数，确定f（x）的极小值，对一切实数a∈（0，1），利用配方法，即可求f（x）的极小值的最大值．

（1）f′（x）=ax²-（a+1）x+1（a∈R），…（1分）
由f′（2）=9，得a=5．，…（2分）
∴f(x)＝
5
3x3−3x2+x−
1
3
∴f（2）=3，
∴（2，3）在直线9x-y+b=0上，
∴b=-15．…（4分）
（2）①若a=0，f(x)＝−
1
2x2+x−
1
3＝−
1
2(x−1)2+
1
6，
∴f（x）的单调减区间为（1，+∞）．…（6分）
②若a＜0，则f′(x)＝ax2−(a+1)x+1＝a(x−
1
a)(x−1)，x∈R，
令f′（x）＜0，得(x−
1
a)(x−1)＞0．∴x＜
1
a，或x＞1．…（9分）
∴f（x）的单调减区间为(−∞，
1
a)，（1，+∞）． …（10分）
（3）f′(x)＝a(x−1)(x−
1
a)，0＜a＜1，
列表：

x （-∞，1） 1 （1，[1/a]） [1/a] （[1/a]，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗…（12分）
∴f（x） 的极小值为f(
1
a)＝
a
3•
1
a3−
1
2(a+1)
1
a2+
1
a−
1
3
=−
1
6•
1
a2+
1
2•
1
a−
1
3＝−
1
6(
1
a−
3
2)2+

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数得到单调性，考查函数的极值，属于中档题．