已知函数f(x)＝(a−12)x2+lnx．（a∈R）

解题思路：（1）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；（2）令g(x)＝f(x)−2ax＝(a−

1

2

)x2−2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．证g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立即得证．求出g′（x）分区间讨论函数的增减性得到函数的极值，利用极值求出a的范围即可．

解（Ⅰ）当a=1时，f(x)＝
1
2x2+lnx，f′(x)＝x+
1
x＝
x2+1
x．
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．
∴fmax(x)＝f(e)＝1+
e2
2，fmin(x)＝f( 1 )＝
1
2
（Ⅱ）令g(x)＝f(x)−2ax＝(a−
1
2)x2−2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵g′(x)＝(2a−1)x−2a+
1
x＝
(2a−1)x2−2ax+1
x＝
(x−1)[(2a−1)x−1]
x．
①若a＞
1
2，令g'（x）=0，得极值点x₁=1，x2＝
1
2a−1．
当x₂＞x₁=1，即[1/2＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0．
此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤
1
2]，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(1)＝−a−
1
2≤0⇒a≥−
1
2．
由此求得a的范围是[−
1
2，[1/2]]．
综合①②可知，当a∈[−
1
2，[1/2]]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力．以及综合运用函数解决数学问题的能力．