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西若 春芽
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(Ⅰ)当a=2时,f(x)=
1
2x2−2x+lnx
∴f′(x)=x−2+
1
x
∴f(1)=
1
2−2=−
3
2,f'(1)=0
切线方程为y=−
3
2…(4分)
(Ⅱ)定义域(0,+∞)
f′(x)=x−a+
a−1
x=
x2−ax+(a−1)
x=
(x−1)(x+1−a)
x
令f'(x)=0,解得x1=1,x2=a-1
①当a=2时,f'(x)≥0恒成立,则(0,+∞)是函数的单调递增区间
②当a>2时,a-1>1,
在区间(0,1)和(a-1,+∞)上,f'(x)>0;在(1,a-1)区间上f'(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,1)和(a-1,+∞),单调递减区间是(1,a-1)
③当1<a<2时,在区间(0,a-1)和(1,+∞)上,f'(x)>0;在(a-1,1)区间上f'(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,a-1)和(1,+∞),单调递减区间是(a-1,1)
④当a≤1时,a-1≤0,在区间(0,1)上f'(x)<0,在区间(1,+∞)上,f'(x)>0,
故f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).
总之,当a=2时,(0,+∞)是函数的单调递增区间
②当a>2时,f(x)的单调递增区间是(0,1)和(a-1,+∞),单调递减区间是(1,a-1)
③当1<a<2时,f(x)的单调递增区间是(0,a-1)和(1,+∞),单调递减区间是(a-1,1)
④当a≤1时,f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).…(13分)
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查函数切线的斜率的求法:函数在切点处的导数值是函数的切线斜率;函数的单调区间与导函数符号的关系:正增负减;考查分类讨论的数学思想方法.
1年前
已知函数f(x)=12x2−ax+(a−1)lnx,a>1.
1年前1个回答
已知函数f(x)=12x2−ax+(a−1)lnx,a≥2.
1年前1个回答
1年前1个回答
已知函数f(x)=12x2+ax−(a+1)lnx(a<-1).
1年前1个回答
已知函数f(x)=12x2−2(a+2)lnx+ax,a∈R
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