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y1−y2 |
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szyou 幼苗
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(1)∵f(x)=
1
2x2+(a−3)x+lnx(x>0),
∴f′(x)=x+(a-3)+[1/x];
若f(x)在(0,+∞)上是增函数,
则f′(x)≥0对x>0恒成立,即a≥-(x+[1/x])对x>0恒成立,
当x>0时,-(x+[1/x])+3≤-2+3=1;
∴a≥1.
若函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,
则f′(x)≤0对x>0恒成立,即a≤-(x+[1/x])+3对x>0恒成立,
这是不可能的.
综上,a≥1.
∴a的最小值为1.
(2)假设存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设0<x1<x2,
∴k=
y1−y2
x1−x2=
(
1
2x12+(a−3)x1+lnx1)−(
1
2x22+(a−3)x2+lnx2)
x1−x2=[1/2](x1+x2)+(a-3)+
ln
x1
x2
x1−x2;
∵f′(x0)=x0+(a-3)+[1
x0,x0=
1/2](x1+x2),
若k=f′(x0),则
ln
x1
x2
x1−x2=[1
x0,即ln
x1
x2=
2(x1−x2)
x1+x2=
2(
x1
x2−1)
x1
x2+1(*);
令t=
x1
x2,则函数u(t)=lnt-
2(t−1)/t+1](0<t<1),
则u′(t)=[1/t]-
4
(t+1)2=
(t−1)2
t(t+1)2>0,∴u(t)在0<t<1上是增函数,
∴u(t)<u(1)=0,
∴(*)式不成立,与假设矛盾.∴k≠f′(x0).
因此,满足条件的x0不存在.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求闭区间上函数的最值等基础知识,也考查了运算能力与化归、转化思想等知识,是难题.
1年前
1年前1个回答
1年前1个回答
已知函数f(x)=12x2−2(a+2)lnx+ax,a∈R
1年前1个回答
已知函数f(x)=12x2−ax+(a−1)lnx,a>1.
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已知函数f(x)=12x2−ax+(a−1)lnx,a≥2.
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已知函数f(x)=12x2+ax−(a+1)lnx(a<-1).
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已知函数f(x)=12x2−(3+m)x+3mlnx,m∈R.
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已知函数 f(x)=12x2−2alnx+(a−2)x,a∈R.
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