已知函数f(x)=12x2-lnx．

解题思路：（I）求出函数的定义域，求出导函数，求出导函数的根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，求出单调区间．
（II）构造新函数h（x）=f（x）-g（x），求出h（x）的导函数，判断出h′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，判断出h（x）递增，求出h（x）的最小值，判断出最小值大于0，判断出h（x）＞0，判断出f（x）＞g（x），得证．

（I）∵f(x)=
1
2x2-lnx的定义域为(0，+∞)，
又f(x)可得：f′(x)=x-
1
x=
x2-1
x
令f'（x）=0，则x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
⊙⊙⊙⊙x⊙（0，1）⊙1⊙（1，+∞）⊙⊙f'（x）⊙-⊙0⊙+⊙⊙f（x）⊙递减⊙极小值⊙递增故f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）
（II）令h(x)=f(x)-g(x)=
2
3x3-
1
2x2-lnx
则h′(x)=2x2-x-
1
x=
2x3-x2-1
x=
(x-1)(2x2+x+1)
x
∵x＞1
∴h'（x）＞0
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增


又h(1)=
1
6＞0
∴f(x)＞g(x)
当x＞1时，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方．

点评：
本题考点： A:利用导数研究函数的单调性 B:导数在最大值、最小值问题中的应用

考点点评： 求函数的单调区间注意要先求出函数的定义域，单调区间是定义域的子集；证明不等式常转化为求函数的最值．

解1：f'(x)=x-1/x.解得，
当x<-1或x>1为增函数；当-1解2：令F(x)=f(x)-g(x)
F'(x)=f'(x)-g'(x)=2x^2-x-1/x；当x>1时恒有F'(x)>0，既f(x)-g(x)为增函数；当x=1时f(1)=1>g(1)=1/3;又f(x)-g(x)当x>1时为增函数故当x>1时恒有f(x)>g(x)...