（2014•江西一模）已知函数f(x)＝lnx−bx−ax（a、b为常数），在x=1时取得极值．

解题思路：（1）因为x=1时函数取得极值，得f′（1）=0，即可得到；
（2）求出导函数g′（x），然后由导函数的正负得到x的取值范围，进而得到g（x）的最小值；
（3）令h(x)＝lnx+

2

x

+x，借助于导数得到h（x）在x=1时取得最小值3，故h(

n

n+1

)＝ln

n

n+1

+

2(n+1)

n

+

n

n+1

＞3，
整理即得到n(n+1)ln

n

n+1

＞−(n+2)，即得证．

（1）f′(x)＝
1
x−b+
a
x2＝
−bx2+x+a
x2
由于函数在x=1时取得极值，则f′（1）=-b+1+a=0
∴a-b=-1；
（2）a=-1时b=a+1=0
则g(x)＝lnx+
1
x+2x（x＞0）
g′(x)＝
1
x−
1
x2+2＝
2x2+x−1
x2（x＞0）
∴g（x）在(0，
1
2]上单调递减，在[
1
2，+∞)上单调递增
又由g(
1
2)＝3−ln2
∴当x＝
1
2时，g（x）取最小值3-ln2；
（3）令h(x)＝lnx+
2
x+x，h′(x)＝
1
x−
2
x2+1＝
x2+x−2
x2（x＞0），
∴h（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增
又由h（1）=3，
∴h(x)＝lnx+
2
x+x≥3当且仅当x=1时取最小值，
∵0＜
n
n+1＜1，∴h(
n
n+1)＝ln
n
n+1+
2(n+1)
n+
n
n+1＞3
∴ln
n
n+1+
2
n−
1
n+1＞0即ln
n
n+1+
n+2
n(n+1)＞0
∴n(n+1)ln
n
n+1＞−(n+2)，
∴(
n
n+1)n(n+1)＞(
1
e

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，导数的正负对应着函数的增减，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点．属于中档题．