(2014•江西模拟)已知函数f(x)=ln(x+1)+ax+2

(2014•江西模拟)已知函数f(x)=ln(x+1)+
a
x+2

(1)当a=
25
4
时,求f(x)的单调递减区间;
(2)若当x>0时,f(x)>1恒成立,求a的取值范围;
(3)求证:ln(n+1)>
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n+1
(n∈N*)
为你ZHUCE 1年前 已收到1个回答 举报

BECK1952 幼苗

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解题思路:(1)求导数,利用导数小于0,即可求f(x)的单调递减区间;
(2)由ln(x+1)+
a
x+2
>1
得a>(x+2)-(x+2)ln(x+1),记g(x)=(x+2)[1-ln(x+1)],确定函数的最值,即可求a的取值范围;
(3)先证明ln(x+1)>
x
x+2
,取x=
1
k
,即可证得结论.

(1)当a=
25
4时,f′(x)=
4x2−9x−9
4(x+1)(x+2)2=
(4x+3)(x−3)
4(x+1)(x+2)2(x>-1)
令f′(x)<0,可得−
3
4<x<3,∴f(x)的单调递减区间为(−
3
4,3)…(4分)
(2)由ln(x+1)+
a
x+2>1得a>(x+2)-(x+2)ln(x+1)
记g(x)=(x+2)[1-ln(x+1)],则g′(x)=1−ln(x+1)−
x+2
x+1=−ln(x+1)−
1
x+1
当x>0时 g′(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)递减
又g(0)=2•[1-ln1]=2,∴g(x)<2(x>0),∴a≥2…(8分)
(3)证明:由(Ⅱ)知 ln(x+1)+
2
x+2>1(x>0)
∴ln(x+1)>
x
x+2
取x=
1
k得ln(
1
k+1)>

1
k

1
k+2,即ln(
k+1
k)>
1
2k+1
∴ln
2
1+ln
3
2+ln
4
3+…+ln
n+1
n>
1
3+
1
5+
1
7+…+
1
2n+1…(12分)

点评:
本题考点: 数列与不等式的综合;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,属于中档题.

1年前

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