设mxn实矩阵A的秩为n,证明:矩阵A^TA为正定矩阵.

hensl 1年前 已收到1个回答 举报
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证: 首先 (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA

故 A^TA 是对称矩阵.

又对任一非零列向量x

由 r(A) = n 知 AX=0 只有零解

所以 Ax ≠ 0 再由A是实矩阵,

所以 (Ax)^T(Ax) > 0

即 x^T(A^TA)x > 0

所以 A^TA 是正定矩阵.

1年前

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