线性代数正定性问题（1）设A是n阶实矩阵,证明A^TA+E正定（2）设A是n阶是对称矩阵,证明A^2+A+E正定

zts125 1年前 已收到2个回答 举报
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蔚为大观 幼苗

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证明:(1) 对任意非零n维列向量x,x^Tx>0
且 (Ax)^T(Ax)>=0
所以 x^T(A^TA+E)x = (Ax)^T(Ax)+x^Tx >0
所以A^TA+E正定．
(2) 设λ是A的特征值,则λ为实数
且 λ^2+λ+1 是A^2+A+E的特征值
因为 λ^2+λ+1=(λ+1/2)^2 + 3/4 > 0.
所以A^2+A+E的特征值都大于0
所以A^2+A+E正定.

1年前

4

xdawei25 幼苗

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记A’=A^T
想证明一个n级矩阵C是正定的，就等价于证明任意n维列向量X，有X'CX≥0，且等号成立当且仅当X=0。易知X’X≥0，且等号成立当且仅当X=0
(1)所以X‘(A'A+E)X=X'A'AX+X’X=(AX)'AX+X’X≥0，故A'A+E正定
(2)注意A是n阶实对称矩阵，所以A’=A，故4(A^2+A+E)=4A‘A+2A'+2A+E²+3E=(...

1年前

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