已知抛物线C：y 2 =4x，直线l：y=kx+b与C交于A，B两点，O为坐标原点．

（1）抛物线C：y ² =4x的焦点为（1，0）
由已知l：y=x-1，设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），
联立

y 2 =4x
y=x-1 ，消y得x ² -6x+1=0，
所以x ₁ +x ₂ =6，x ₁ x ₂ =1
|AB|=
( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 =
2
( x 2 - x 1 ) 2 =
2
( x 2 +x 1 ) 2 -4 x 1 x 2 =8

（2）联立

y 2 =4x
y=kx+b ，消x得ky ² -4y+4b=0（*）（依题意k≠0）
y 1 + y 2 =
4
k ， y 1 y 2 =
4b
k ，
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k ₁ ，k ₂ ，
则α+β=45°，tan（α+β）=tan45°，
k 1 + k 2
1- k 1 k 2 =1
其中 k 1 =
y 1
x 1 =
4
y 1 ， k 2 =
4
y 2 ，
代入上式整理得y ₁ y ₂ -16=4（y ₁ +y ₂ ）
所以
4b
k -16=
16
k ，即b=4k+4，
此时，使（*）式有解的k，b有无数组
直线l的方程为y=kx+4k+4，整理得k（x+4）=y-4
消去

x+4=0
y-4=0 ，即

x=-4
y=4 时k（x+4）=y-4恒成立，
所以直线l过定点（-4，4）