如图,AB是半圆的直径,点P,C为圆O上两点,且∠PBA=22.5°,∠BAC=45°,PB,CA交于点E,则PE:BE

连接BC,
∵AB是直径,∴∠C=90°,
∵∠A=45°,∴∠ABC=45°,
∵∠PBA=22.5°,
∴∠PBA=∠PBC,
设AB=2R,则AC=BC=√2R,
由角平分线定理得：AE/CE=AB/BC=√2,
∴AE=√2R/(√2+1)=(2-√2)R,CE=√2R-(2-√2)R=2(√2-1)R,
在RTΔBCE中,BE=√(BC^2-CE^2)=√(14-8√2)R
连接AP,∵∠P=90°=∠C,∠AEP=∠BEC,
∴ΔAEP∽ΔBEC,
AE/BE=PE/CE,
∴PE=［(2-√2)*2(√2-1)］R^2/(√(14-8√2)R=2(3√2-4)R/√(14-8√2)
∴PE/BE=2(3√2-4)/(14-8√2)=(-4+5√2)/17.

连接PA,BC,
∵在圆O中，AB为直径
∴∠APB=∠ACB=90°
∵∠PEA=∠CEB
∴△PAE∽△CEB
∴PE:EB=AE:EB
∵AE/sin∠EBA=EB/sin∠EAB
AE:EB=sin∠EBA:sin∠EAB=sin45°：sin22.5°
由 1-2*(sin22.5^2）=cos45 可得
sin22...

连接PC,BC,PA，则由圆周角定理，∠ACP=∠ABP，∠BPC=∠BAC。所以△PCE∽△ABE。所以PE/BE=PC/AB。
因为AB是直径，所以∠ACB=90°，由于∠BAC=45°，∠ABP=22.5°。所以∠PBC=22.5°，即PB是∠ABC的平分线，所以AP=CP。所以PC/AB=AP/AB。故PE/BE=AP/AB=sin∠ABP=sin22.5°。。...