已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90,P是边AB上的一个动点,PQ⊥PC,交线段CB的延长线与点Q

这个函数得借助三角函数和反三角函数来做.有了这个提示估计你应该就有思路了吧.
作PD垂直BC于D,因为角A＝30度,AB＝4,
所以角ABC＝60度,BC＝2
所以BD＝X/2,PD＝√3X/2,CD＝2－X/2,
所以CP＝√PD平方+CD平方＝√[（X-1）平方+3]
在Rt△CDP中,tan∠PCD=PD/CD=√3X/(4-X),
所以∠PCD＝arctan√3X/(4-X),
在Rt△CPQ中,Y＝CP*tan∠PCD,
所以Y＝√[（X-1）平方+3]*tan[arctan√3X/(4-X)].
对于定义域就比较好确定了,当CP垂直AB时,Q与B重合,这时PB＝PQ,
也即当X＝1的时候,Y＝1
当X小于1时,Q不在CB的延长线上,也就是说不符合题意,不存在.
当P与A重合时,PQ平行CQ,也即Y是无穷大的,也不存在.
所以X的定义域为：大于等于1且小于4.