如图,在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,AC=1/2AB,点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合）,过点C
如图,在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,AC=1/2AB,点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合）,过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．
（1）如图1,求证：△PCD∽△ABC；
（2）当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由；
（3）如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数．
（1）如图1,求证：△PCD∽△ABC；
（2）当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由；
（3）如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数．
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（1）证明：∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵PD⊥CD,
∴∠D=90°,
∴∠D=∠ACB,
∵∠A与∠P是对的圆周角,
∴∠A=∠P,
∴△PCD∽△ABC；
（2）当PC是⊙O的直径时,△PCD≌△ABC,
理由：∵AB,PC是⊙O的半径,
∴AB=PC,
∵△PCD∽△ABC,
∴△PCD≌△ABC；
（3）∵∠ACB=90°,AC=AB,
∴∠ABC=30°,
∵△PCD∽△ABC,
∴∠PCD=∠ABC=30°,
∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴=,
∴∠ACP=∠ABC=30°,
∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90 °﹣30 °﹣30 °=30 °．
∴∠ACB=90°,
∵PD⊥CD,
∴∠D=90°,
∴∠D=∠ACB,
∵∠A与∠P是对的圆周角,
∴∠A=∠P,
∴△PCD∽△ABC；
（2）当PC是⊙O的直径时,△PCD≌△ABC,
理由：∵AB,PC是⊙O的半径,
∴AB=PC,
∵△PCD∽△ABC,
∴△PCD≌△ABC；
（3）∵∠ACB=90°,AC=AB,
∴∠ABC=30°,
∵△PCD∽△ABC,
∴∠PCD=∠ABC=30°,
∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴=,
∴∠ACP=∠ABC=30°,
∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90 °﹣30 °﹣30 °=30 °．
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