如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC= 1 2 AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过
如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=
 （1）如图1，求证：△PCD ∽ △ABC； （2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由； （3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数． |
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（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A与∠P是
BC 对的圆周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD ∽ △ABC；
（2）当点P运动到以OC所在直径交AB的点上时，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的直径，
∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，
∵∠A=∠P
在△PCD和△ABC中，
∠P=∠A
∠PDC=∠ACB
AB=PC ，
∴△PCD≌△ABC（AAS）；
（3）∵∠ACB=90°，AC=
1
2 AB，
∴∠ABC=30°，
∵△PCD ∽ △ABC，
∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴
AC =
AP ，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30°-30°=30°．
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A与∠P是
BC 对的圆周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD ∽ △ABC；
（2）当点P运动到以OC所在直径交AB的点上时，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的直径，
∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，
∵∠A=∠P
在△PCD和△ABC中，
∠P=∠A
∠PDC=∠ACB
AB=PC ，
∴△PCD≌△ABC（AAS）；
（3）∵∠ACB=90°，AC=
1
2 AB，
∴∠ABC=30°，
∵△PCD ∽ △ABC，
∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴
AC =
AP ，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30°-30°=30°．
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