如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC= AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直
| 如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=  AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点． （1）如图1，求证：△PCD∽△ABC； （2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由； （3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数． |
赞 peter876 幼苗
共回答了10个问题采纳率：90% 举报
（1）见解析（2）当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，
（3）30°
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A与∠P都是
对的圆周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；
（2）
当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的直径，
∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，
∵∠A=∠P
∴△PCD≌△ABC；
（3）
∵∠ACB=90°，AC=
AB，∴∠ABC=30°
∵OC=OB ∴∠BCD=∠ABC=30°
（1）由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC；
（2）由△PCD∽△ABC，可知当PC=AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；
（3）由∠ACB=90°，AC= AB，可求得∠ABC的度数，然后利用半径OC=OB，等角对等边，继而求得答案．
（3）30°
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A与∠P都是
对的圆周角，∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；
（2）
当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的直径，
∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，
∵∠A=∠P
∴△PCD≌△ABC；
（3）
∵∠ACB=90°，AC=
AB，∴∠ABC=30°∵OC=OB ∴∠BCD=∠ABC=30°
（1）由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC；
（2）由△PCD∽△ABC，可知当PC=AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；
（3）由∠ACB=90°，AC=
AB，可求得∠ABC的度数，然后利用半径OC=OB，等角对等边，继而求得答案．
1年前
8
可能相似的问题