（2014•揭阳三模）已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值．

解题思路：（1）求出f′（x），因为函数在x=0处取极值，所以f'（0）=0求出a即可；
（2）把a=1代入求得f（x）的解析式，把f（x）代入方程中得ln(x+1)−x2+

3

2

x−b＝0．然后令φ(x)＝ln(x+1)−x2+

3

2

x−b，求出导函数，讨论导函数的增减性，得到b的取值范围；
（3）求出f′（x）=0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的最大值为f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0，然后取x=[1/n]＞0，代入得到结论成立．

解（1）f′(x)＝
1
x+a−2x−1，∵x=0时，f（x）取得极值，
∴f'（0）=0，
故[1/0+a−2×0−1＝0，解得a=1．经检验a=1符合题意．
（2）由a=1知f(x)＝ln(x+1)−x2−x，由f(x)＝−
5
2x+b，得ln(x+1)−x2+
3
2x−b＝0．
令φ(x)＝ln(x+1)−x2+
3
2x−b，
则f(x)＝−
5
2x+b在[0，2]上恰有两个不同的实数根，
等价于φ（x）=0在[0，2]上恰有两个不同实数根．φ′(x)＝
1
x+1−2x+
3
2＝
−(4x+5)(x−1)
2(x+1)]，
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，1]上单调递增；
当x∈（1，2）时，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[1，2]上单调递减；
依题意有

φ(0)＝−b≤0，∴ln3−1≤b＜ln2+
1
2.
（3）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定义域为{x|x＞-1}．
由（1）知f′(x)＝
−x(2x+3)
x+1．令f′(x)＝0时，x＝0或x＝−
3
2（舍去），
∴当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），
故ln（x+1）-x²-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）．
对任意正整数n，取x＝
1
n＞0得，ln(
1
n+1)＜
1
n+
1
n2，故ln
n+1
n＜
n+1
n2．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数与方程的综合运用；不等式的证明．

考点点评： 考查学生利用导数研究函数极值的能力，注意函数与方程的综合运用，以及会进行不等式的证明．