（2014•聊城一模）已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值．

（Ⅰ）函数f（x）=ln（x+a）-x²-x
f′（x）=
1/x+a]-2x-1
当x=0时，f（x）取得极值，
∴f′（0）=0
故[1/0+a−2×0−1＝0，
解得a=1，经检验a=1符合题意，
则实数a的值为1；
（Ⅱ）由a=1知f（x）=ln（x+1）-x²-x
由f（x）=-
5
2]x+b，得ln（x+1）-x²+[3/2]x-b=0
令φ（x）=ln（x+1）-x²+[3/2]x-b，
则f（x）=-[5/2]x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．
φ′（x）=[1/x+1]-2x+[3/2]=
−(4x+5)(x−1)
2(x+1)，
当x∈[0，1]时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在[0，1）上单调递增；
当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，
依题意有φ（0）=-b≤0，
φ（1）=ln（1+1）-1+[3/2]-b＞0，
φ（2）=ln（1+2）-4+3-b≤0
解得，ln3-1≤b＜ln2+[1/2]，
故实数b的取值范围为：[ln3-1，ln2+[1/2]）；
（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定义域为{x|x＞-1}，由（1）知f（x）=
−x(2x+3)
x+1，
令f′（x）=0得，x=0或x=-[3/2]（舍去），
∴当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）
对任意正整数n，取x=[1/n]＞0得，ln（[1/n]+1）＜[1/n]+[1
n2
∴ln（
n+1/n]）＜[n+1
n2，
故2+
3/4]+[4/9]+…+

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，第三问难度比较大，利用了前两问的结论进行证明，此题是一道中档题．

1年前

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