请问三角形ABC的中线AM=2,P 是线段AM上一动点,则向量PA•(向量PB +向量PC )的最小值是多少
请问三角形ABC的中线AM=2,P 是线段AM上一动点,则向量PA•(向量PB +向量PC )的最小值是多少?
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向量PA•(向量PB +向量PC )
∵AM为三角形ABC的中线
∴向量PB+PC=2PM
∴向量PA•(向量PB +向量PC )
=2PA•PM
=-2|PA||PM|
因为|AM|=|PA|+|PM|=2
根据均值定理
∴|PA||PM|≤[（|PA|+|PM|)/2]^2=1
当且仅当|PA|=|PM|即P为AM中点时取等号.
∴-2|PA||PM|≥-2
即向量PA•(向量PB +向量PC )
的最小值是-2
∵AM为三角形ABC的中线
∴向量PB+PC=2PM
∴向量PA•(向量PB +向量PC )
=2PA•PM
=-2|PA||PM|
因为|AM|=|PA|+|PM|=2
根据均值定理
∴|PA||PM|≤[（|PA|+|PM|)/2]^2=1
当且仅当|PA|=|PM|即P为AM中点时取等号.
∴-2|PA||PM|≥-2
即向量PA•(向量PB +向量PC )
的最小值是-2
1年前
9
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1年前5个回答
你能帮帮他们吗