如图,已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,点M为EC边中点,求证：△BMD为等腰直角三角形.
如图,已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,点M为EC边中点,求证：△BMD为等腰直角三角形.
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把直线AE、BE、AD逆时针旋转90°,则A旋转到C点,B、E对应点分别为B'、E' .△ABE全等于△CBE' ,BD=BD' .连接MD' ,下面证明D、M、D'在一条直线上.
因为EB、CD'都垂直于BE' ,所以BE‖CD' ,所以∠DEM=∠D'CM ,又有CD'=E'D'=ED ,EM=CM ,所以△EMD全等于△CMD' ,∠DME=∠D'MC .因为E、M、C共线,所以D、M、D'在一条直线上,且MD=MD' .△DBD'为等腰直角三角形,∠BDD'=45°,BM为DD'的中垂线.所以△BMD为等腰直角三角形.
因为EB、CD'都垂直于BE' ,所以BE‖CD' ,所以∠DEM=∠D'CM ,又有CD'=E'D'=ED ,EM=CM ,所以△EMD全等于△CMD' ,∠DME=∠D'MC .因为E、M、C共线,所以D、M、D'在一条直线上,且MD=MD' .△DBD'为等腰直角三角形,∠BDD'=45°,BM为DD'的中垂线.所以△BMD为等腰直角三角形.
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