如图,已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,点M为EC中点,证△BMD为等腰直角三角形

如图,延长AD到F,使DF=DA,连接EF、CF.则DE既是ΔAEF的高也是中线,所以ΔAEF也是等腰直角三角形.∴∠1=45°,EF⊥AE
∵∠DAE=∠BAC(都是45°),∴∠BAE=∠CAF,又∵CA:BA=AF:AE=√2,∴ΔCAF∽ΔBAE,∴∠2=∠BEA=45°
于是∠1+∠2=45°+45°=90°,∴EF⊥CF,从而AE∥CF.
在直角梯形AEFC中,D、M分别是其两条对角线的中点,根据“梯形中位线定理”可知DM∥AE∥CF.
于是∠4=∠BEA=45°,从而∠3 =180°-∠ADE-∠4 =180°-90°-45°=45°
延长DM交AC于N,∵MN∥AE且M为EC中点,∴N为AC中点.
根据“等腰三角形底边中线与高重合”可知BN⊥AC,ΔBAN是等腰直角三角形,∠8+∠9=45°.
在四边形ADBN中,∠ADB=∠3+∠4=45°+45°=90°,∠ANB=90°,∴ADBN四点共圆,∴∠5=∠6
又∵BA:BN=√2,AD:MN=(AE÷√2):MN=(AE:MN)÷√2=2÷√2=√2,即BA:BN=AD:MN,∴ΔBAD∽BNM,∴∠7=∠9
∵∠8+∠9=45°,∴∠7+∠8=45°
在ΔBMD中,∠4=45°,∠7+∠8=45°,∠BMD=180°-45°-45°=90°.所以ΔBMD是等腰直角三角形.

证明：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=
1
2
EC=MC，
∴∠MBC=∠MCB．
∴∠BME=2∠BCM．（2分）
同理可证：DM=
1
2
EC=MC，∠EMD=2∠MCD．
∴∠BMD=2∠BCA=90°，（4分）
∴BM=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形

这个题目其实是另一个题目的演变，就是一个三角形两边做外接（或内接正方形连接两顶点取重点，证明三角形形状）我以前看过好几个。

稍微简单一点就是归到这一类，即把△ABC和△ADE补全成两个正方形，则题目的证明就跟我下面一个证明一模一样