已知在三角形ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,AB边上的中线CD=m,求证a的平方加b的平方等于0.5（c平方）+

这题你首先画个图,我就不提供图了.
除了已知条件,接着从A向CD作垂线,垂足为E,那么AE=x,DE=n,
从B向CD作垂线,垂足为F,那么BF=y,DF=n.（因为三角形AED全等于三角形BFD）
接下来就是在直角三角形中的勾股定理的应用了：
在三角形ACE,x^2+(m-n)^2=b^2
在三角形BCF,y^2+(m+n)^2=a^2
将上两个式子相加,得 x^2+y^2+2*m^2+2*n^2=a^2+b^2
接下来在三角形AED,x^2+n^2=(1/2c)^2
在三角形BFD,y^2+n^2=(1/2c)^2
将上两个式子相加,得 x^2+y^2+2*n^2=1/2c^2
最终将此式带入到上个加和所得的式子中,即得1/2c^2+2*m^2=a^2+b^2 .得证!
顺便说句,这样的题,都带有平方项,那你就要构造直角三角形来解决.

应用余弦定理：
在三角形ABC和三角形ADC中应用余弦定理把COSA表示出来，把两个式子联立消去COSA，在进行适当的变形，即可得所证明的式子。