已知函数f(x)＝ax+bx∈(−1，0]x−bx−ax∈(0，1)，其中a＞0，b＞0，若limx→0f(x)存在，且

lim
x→0−f(x)＝
lim
x→0−(ax+b)=b，

lim
x→0+f(x)＝
lim
x→0+
x−b
x−a＝
b
a]，
∵
lim
x→0f(x)存在，∴[b/a＝b，∴a=1．
∴f(x)＝

x+b，x∈(−1，0]

x−b
x−1，(0，1)]，
∵f（x）在（-1，1）上有最大值，
∴当x∈（-1，0]时，f（x）=x+b，f（x）_max=f（0）=b，
当x∈（0，1）时，f（x）=[x−b/x−1]，∴f′(x)＝
b−1
(x−1)2．
∵f（x）在（-1，1）上有最大值，
∴0＜b≤1．
故选A．

点评：
本题考点： 极限及其运算；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查极限及其运算，解题时要认真审题，仔细解答．