白发白中
幼苗
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第一题应该是一个大于或等于,一个是小于或等于
第二题是第25届IMO的试题:
首先易证2^k>2^m,从而k>m
在由ad=bc,d=2^k-a,c=2^m-b可得b*2^m-a*2^k=b^2-a^2,因而2^m(b-a*2^(k-m))=(b+a)(b-a) (1)
显然,b+a,b-a为偶数,b-2^(k-m)a为奇数,并且b+a,b-a只能一个为4n型偶数,一个为4n+2型偶数
因此,如果b-2^(k-m)a=e*f,其中e,f为奇数,那么由(1)式及b+a,b-a的特性可得
(1)b+a=2^(m-1)e b-a=2f
(2)b+a=2f b-a=2^(m-1)e
这两个方程组,由ef=b-2^(k-m)a<b-a<2f
可得e=1
再解以上两个方程组可得a*2^(k-m+1)=2^(m-1)
又a为奇数,所以a=1
1年前
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