已知三棱锥P-ABC的底面为正三角形,PA垂直面ABC,点M,N分别在PC,AB上,且PM=MC,BN=3NA.

在平面ADC上作MH⊥AC,垂足H,连结HN,取AB中点E,连结CE,
∵PA⊥平面ABC,AC∈平面ABC,
∴PA⊥AC,
∴MH//PA,
∴MH⊥平面ABC,
∵M是PC中点,
∴MH是△PAC的中位线,
∴H是AC的中点,
∵BN=3AN,
∴AN=AB/4,
∵AE=BE,
∴AN=AE/2,
∴HE是△ACE的中位线,
∴HN//CE,
∵△ABC是正△,
∴CE⊥AB,
∴HN⊥AE,
∵HN是斜线MN在平面ABC上的射影,
∴根据三垂线定理,
MN⊥AB.(当然也可证明AB⊥平面MNH,MN∈平面MNH,∴AB⊥MN).
2、由前所述,〈MNH是MN所成角,
∴〈MNH=45°,
CE=√3AB/2=√3,
HN=CE/2=√3/2,
△MNH是等腰RT△,
∴MH=HN=√3/2,
PA=2MH=√3,
S△ABC=AB*CE/2=2*√3/2=√3,
∴VP-ABC=S△ABC*PA/3=√3*√3/3=1.