已知定义域为R的函数y=f（x）和y=g（x），它们分别满足条件：对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）
| 已知定义域为R的函数y=f（x）和y=g（x），它们分别满足条件：对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）；对任意a，b∈R，都有g（a+b）=g（a）•g（b），且对任意x＞0，g（x）＞1． （1）求f（0）、g（0）的值； （2）证明函数y=f（x）是奇函数； （3）证明x＜0时，0＜g（x）＜1，且函数y=g（x）在R上是增函数； （4）试各举出一个符合函数y=f（x）和y=g（x）的实例． |
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（1）令a=b=0，则f（0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0
g（0）=g（0）•g（0）⇒g（0）=0或g（0）=1，
若g（0）=0，则g（x）=0，与条件矛盾．
故g（0）=1（也可令a=0，b=1，则不需要检验）
（2）f（x）的定义域为R，关于数0对称，
令a=x，b=-x，则f（-x）=-f（x）．
故f（x）为奇函数．
（3）当x＜0时，-x＞0，g（-x）＞1，
又g（x）•g（-x）=g（0）=1⇒0＜g（x）＜1
故∀x∈R，g（x）＞0
证法一：设x 1 ，x 2 为R上任意两个实数，且x 1 ＜x 2 ，
则x 1 -x 2 ＜0，g（x 1 -x 2 ）＜1g（x 1 ）-g（x 2 ）
=g[（x 1 -x 2 ）+x 2 ]-g（x 2 ）=[g（x 1 -x 2 ）-1]•g（x 2 ）＜0．
故g（x）为R上的增函数．
证法二：设x 1 ，x 2 为R上任意两个实数，且x 1 ＜x 2 ，
g( x 1 )
g( x 2 ) =
g[( x 1 - x 2 )+ x 2 ]
g( x 2 ) =g( x 1 - x 2 )＜1
∴g（x）为R上的增函数．
（4）f（x）=2x；g（x）=2 x ．
g（0）=g（0）•g（0）⇒g（0）=0或g（0）=1，
若g（0）=0，则g（x）=0，与条件矛盾．
故g（0）=1（也可令a=0，b=1，则不需要检验）
（2）f（x）的定义域为R，关于数0对称，
令a=x，b=-x，则f（-x）=-f（x）．
故f（x）为奇函数．
（3）当x＜0时，-x＞0，g（-x）＞1，
又g（x）•g（-x）=g（0）=1⇒0＜g（x）＜1
故∀x∈R，g（x）＞0
证法一：设x 1 ，x 2 为R上任意两个实数，且x 1 ＜x 2 ，
则x 1 -x 2 ＜0，g（x 1 -x 2 ）＜1g（x 1 ）-g（x 2 ）
=g[（x 1 -x 2 ）+x 2 ]-g（x 2 ）=[g（x 1 -x 2 ）-1]•g（x 2 ）＜0．
故g（x）为R上的增函数．
证法二：设x 1 ，x 2 为R上任意两个实数，且x 1 ＜x 2 ，
g( x 1 )
g( x 2 ) =
g[( x 1 - x 2 )+ x 2 ]
g( x 2 ) =g( x 1 - x 2 )＜1
∴g（x）为R上的增函数．
（4）f（x）=2x；g（x）=2 x ．
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