已知函数f(x)＝log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数．

解题思路：（1）由已知中函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值．
（2）由于f（x）=log₂（4^x+1）-x=log₂

4x+1

2x

在（0，+∞）上是增函数，故由不等式可得 t²-2t+1＞2t²+1，由此求得t的范围．
（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2(4x+1)−x=log2(a•2x−

4

3

a) 在区间（log2

4

3

，+∞）上有唯一解，利用换元法，化为整式方程，分类讨论，求得a的范围．

（1）∵函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-kx=f（x）=log₂（4^x+1）+kx恒成立，
即log₂（4^x+1）-2x-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立，
解得k=-1．
（2）由（1）可得，f（x）=log₂（4^x+1）-x=log₂
4x+1
2x 在（0，+∞）上是增函数，
故由f（2t²+1）＜f（t²-2t+1）可得 t²-2t+1＞2t²+1，解得-2＜t＜0，即不等式的解集为（-2，0）．
（3）∵a＞0，∴函数g(x)＝log2(a•2x−
4
3a)的定义域为（log2
4
3，+∞），
即方程log2(4x+1)−x=log2(a•2x−
4
3a) 在区间（log2
4
3，+∞）上有唯一解，
即方程
4x+1
2x=a•2^x-[4/3]a 在区间（log2
4
3，+∞）上有唯一解．
令令2^x=t，则t＞[4/3]，因而等价于关于t的方程（a-1）t²-[4a/3]t-1=0at-1=0（*）在（[4/3]，+∞）上只有一解．
当a=1时，解得t=-[3/4]，不合题意；
当0＜a＜1时，记h（t）=（a-1）t²-[4a/3]t-，其图象的对称轴t=[2a
3(a−1)，
∴函数h（t）在（0，+∞）上递减，而h（0）=-1
∴方程（*）在（
4/3]，+∞）上无解．
当a＞1时，其图象的对称轴t=[2a
3(a−1)＞0，
所以，只需h（
4/3]）＜0，即[16/9]（a-1）-[16/9]a-1＜0，此式恒成立，∴此时a的范围为a＞1．
综上所述，所求a的取值范围为（1，+∞）．

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数的性质，函数的单调性的应用，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键，属于中档题．