（2013•成都模拟）已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意a，b∈N*，a≠b，都有af（a）+bf

（I）由①知，对任意a，b∈N^*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N^*上的单调增函数．
（II）令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，又a∈N^*，
从而a=2，即f（1）=2．
进而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54-27=81-54=27，
而且由（I）知，函数f（x）为单调增函数，
因此f（28）=54+1=55．
从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66．
（III）f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹，a_n+1=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n，a₁=f（3）=6．
即数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴a_n=6×3^n-1=2×3ⁿ（n=1，2，3）．
于是[1
a1+
1
a2++
1
an＝
1/2(
1
3+
1
32++
1
3n)＝
1
2×

1
3(1−
1
3n)
1−
1
3＝
1
4(1−
1
3n)，
显然
1
4(1−
1
3n)＜
1
4]，
另一方面3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+C_n¹×2+C_n²×2²++C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n，
从而[1/4(1−
1
3n)≥
1
4(1−
1
2n+1)＝
n
4n+2]．
综上所述，[n/4n+2≤
1
a1+
1
a2++
1
an＜
1
4]．

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值；不等式的证明．

考点点评： （1）对于抽象函数的函数值的求法，我们不可能求出函数的解析式，但观察到af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）移项分解后的形式，故可据此分析函数的单调性；（2）中分类讨论求f（1）的值，及根据已知条件和（1）的结论得到f（28）值用到需要较强的逻辑能力；（3）中放缩法是证明不等式常用的方法，要求大家了解并学会使用．

1年前

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