（2010•成都二模）已知过点A（4，6）的双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（4，0），直线

（2010•成都二模）已知过点A（4，6）的双曲线

−

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（4，0），直线l过点F且与双曲线右支交于点M、N，点B为双曲线右准线与x轴的交点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若△BMN的面积为36

，求直线l的方程；
（3）若点P为点M关于x轴的对称点，求证：B、P、N三点共线．

aeroloong 1年前已收到1个回答举报

ngbhykio 春芽

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解题思路：（1）把点A代入双曲线方程求得a和b的关系，进而根据焦点坐标求得c，可知a和b的另一关系式，联立求得a和b，则双曲线的方程可得．
（2）设直线方程，与双曲线方程联立消去x，设出M，N的坐标，根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而根据直线l与双曲线右支相交，
判断出x₁x₂＜0求得t的范围，进而利用三角形面积公式表示出△BMN的面积求得t，则直线l的方程可得．
（3）根据点M的坐标表示出点P的坐标，进而分别表示出

/BP]和

，进而求得

=0，判断出

和

共线，进而推断出B，P，N三点共线．

（1）由题意得

16
a2−
36
b2＝1
a2+b2＝16，求得a=2，b=2
3
∴双曲线的方程为
x2
4−
y2
12=1

（2）设直线的方程为x=ty+4，
由

x＝ty+4

x2
4−
y2
12＝1消去x得（3t²-1）y²+24ty+36=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴y₁+y₂=[−24t
3t2−1，y₁y₂=
36
3t2−1
∵直线l与双曲线右支相交，
∴x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²•
36
3t

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：本土主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．

1年前

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