数列终极难题已知数列{an}中a1=2 前n项和为Sn,且当n大于等于2时,Sn-1与Sn之间满足关系式2Sn=b（Sn

为表述方便,记c=b/2
关系式为Sn=bS(n-1)/2+3/2=cS(n-1)+3/2
an=Sn-S(n-1)=(c-1)S(n-1)+3/2
代入S(n-1)=cS(n-2)+3/2可得
an=(c-1)cS(n-2)+(c-1)*3/2+3/2
代入S(n-2)=cS(n-3)+3/2可得
an=(c-1)c^2S(n-3)+(c-1)c*3/2+(c-1)*3/2+3/2
可以看出,当n≥3时,
an=(c-1)c^(n-2)S1+(c-1)*(3/2)*∑(0≤m≤n-3)c^m+3/2
=(c-1)c^(n-2)a1+(c^(n-2)-1)*3/2+3/2
=(b-1/2)(b/2)^(n-2)
注意当n取2时,上式给出a2=b-1/2
按公式算出a2=S2-a1=ba1/2+3/2-a1=b-1/2
所以对于当n≥2,an=(b-1/2)(b/2)^(n-2)
利用归纳法来严格证明,n=2上式已经被证明成立.假设n≤k时上式成立,那么a(k+1)=S(k+1)-Sk=(b/2-1)Sk+3/2
其中Sk=a1+∑(2≤m≤k)am=2+∑(2≤m≤k)(b-1/2)(b/2)^(m-2)
=2+(b-1/2)((b/2)^(k-1)-1)/(b/2-1)
于是a(k+1)=(b-2)+(b-1/2)((b/2)^(k-1)-1)+3/2
=(b-1/2)(b/2)^(k+1-2)
得证.