在一个三角形ABC中,CD垂直AB交AB于D,BE垂直AC交AC于E,且CD与BE相交于点F,连接AF.求证：AF垂直于

就是证明三角形的高线交与一点
法1：设ΔABC,三条高线为AD、BE、CF,AD与BE交于H,连接CF.向量HA=向量a,向量HB=向量b,向量HC=向量c.
因为AD⊥BC,BE⊥AC,
所以向量HA·向量BC=0,向量HB·向量CA=0,
即向量a·(向量c-向量b)=0,
向量b·(向量a-向量c)=0,
亦即
向量a·向量c-向量a·向量b=0
向量b·向量a-向量b·向量c=0
两式相加得
向量c·(向量a-向量b)=0
即向量HC·向量BA=0
故CH⊥AB,C、F、H共线,AD、BE、CF交于同一点H.证毕
法2要证AX,BY,CZ相交于一点,可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证,只须构造出一个新三角形A′B′C′,使AX,BY,CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线,则AX,BY,CZ必然相交于一点．
证 分别过A,B,C作对边的平行线,则得到△A′B′C′(图略)．由于四边形A′BAC、四边形AC′BC、四边形ABCB′均为平行四边形,所以AC′=BC=AB′．由于AX⊥BC于X,且BC‖B′C′,所以AX⊥B′C′于A,那么AX即为B′C′之垂直平分线．同理,BY,CZ分别为A′C′,A′B′的垂直平分线,所以AX,BY,CZ相交于一点H

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以BC为直径，过点D C做半圆，以AF为直径过点D E 做圆(设AF延长线角BC于Q)
有以下条件可知AF垂直于BC
角EBC=EDC=EAF
角BFQ=EFA
又角EAF+角EFA=90度
则角EBC+角BFQ=90度

晕 这是要证明三角形的高线交与一点啊 呼呼 难度大大的啊

延长AF,交BC于G,连接DE,
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴A,D,F,E四点共圆,D,B,C,E四点共圆,
∴∠BAF=∠DEF,∠DEF=∠DCB,
∴∠BAF=∠DCB,
∵CD⊥AB,
∴∠CBD+∠DCB=90°,
∴∠CBD+∠BAF=90°,
∴AF⊥BC.