已知圆锥的体积是12πcm3，其侧面展开图是中心角为216°的扇形．

解题思路：（1）设出圆锥的底面半径以及弧长，通过圆锥的体积是12πcm³，其侧面展开图是中心角为216°列出关系式，求出底面半径以及弧长，即可求解圆锥侧面积．
（2）设内接圆柱的底面半径为r′，高为h′，根据三角形相似找出h′与r′的关系，然后表示出内接圆柱侧面积，最后利用基本不等式求出最值即可，注意等号成立的条件．

（1）设圆锥的底面半径为r，弧长为l，
∵圆锥的体积是12πcm³，其侧面展开图是中心角为216°的扇形，
∴
1
3πr2
l2−r2＝12π…①，
[2πr/l＝216×
π
180]…②，
解①②可得：r=3，l=5，圆锥的高为4，
圆锥侧面积：πrl=15π．（cm²）．
（2）设内接圆柱的底面半径为r′，高为h′，如右图，
∵△CAB∽△CED，
∴[ED/AB＝
CD
CB]，即[h′/4＝
3−r′
3]，则h′=[4/3]（3-r′），
∴内接圆柱侧面积S=2πr′h′=2πr′×[4/3]（3-r′）=[8π/3]r′（3-r′）≤[8π/3]（[r′+3−r′/2]）2=6π，
当且仅当r′=3-r′，即r′=[3/2]时取等号，
∴内接圆柱侧面积最大值是6π．

点评：
本题考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

考点点评： 本题主要考查了圆锥的内接圆柱的侧面积，以及基本不等式在最值中的应用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．