已知锐角三角形ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sinB,-根号下3),n=(cos2B,2c
已知锐角三角形ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sinB,-根号下3),n=(cos2B,2cos方B/2再-1),且m//n
(1)求函数f(x)=sin2xcosB-cos2xsinB的单调递增区间
(2)如果b=2，求三角形ABC的面积的最大值
(1)求函数f(x)=sin2xcosB-cos2xsinB的单调递增区间
(2)如果b=2，求三角形ABC的面积的最大值
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(1)
(向量m=(2sinB,-根号下3),n=(cos2B,2cos²B/2-1)
∵m//n
∴2sinB(2cos²B/2-1)+√3cos2B=0
∴2sinB*cos2B+√3cos2B=0
(2sinB+√3)cos2B=0
∵B为锐角
∴2sinB+√3≠0 ∴cos2B=0
∴2B=π/2,B=π/4
∴f(x)=sin(2x-B)=sin(2x-π/4)
由2kπ-π/2≤2x-π/4≤2kπ+π/2,k∈Z
得kπ-π/8≤x≤kπ+3π/8,k∈Z
∴f(x)递增区间为[kπ-π/8,kπ+3π/8],k∈Z
(2)
∵b=2,B=π/4
根据余弦定理
b²=a²+c²-2accosB
∴a²+c²-√2ac=4
根据均值定理
a²+c²=4+√2ac≥2ac
∴(2-√2)ac≤4
∴ac≤2(2+√2)
∴SΔ=1/2acsinB=√2/4ac≤√2/4*2(2+√2)=1+√2
即三角形面积的最大值为1+√2
(向量m=(2sinB,-根号下3),n=(cos2B,2cos²B/2-1)
∵m//n
∴2sinB(2cos²B/2-1)+√3cos2B=0
∴2sinB*cos2B+√3cos2B=0
(2sinB+√3)cos2B=0
∵B为锐角
∴2sinB+√3≠0 ∴cos2B=0
∴2B=π/2,B=π/4
∴f(x)=sin(2x-B)=sin(2x-π/4)
由2kπ-π/2≤2x-π/4≤2kπ+π/2,k∈Z
得kπ-π/8≤x≤kπ+3π/8,k∈Z
∴f(x)递增区间为[kπ-π/8,kπ+3π/8],k∈Z
(2)
∵b=2,B=π/4
根据余弦定理
b²=a²+c²-2accosB
∴a²+c²-√2ac=4
根据均值定理
a²+c²=4+√2ac≥2ac
∴(2-√2)ac≤4
∴ac≤2(2+√2)
∴SΔ=1/2acsinB=√2/4ac≤√2/4*2(2+√2)=1+√2
即三角形面积的最大值为1+√2
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