微积分题目.设函数f(x)在闭区间[0,A]上连续,且f(0)=0 如果f’(x)存在且为增函数(x E (0,A))

只需证F'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2＞0就行了,分母已经大于0了,下面证明它的分子大于0．令分子为g(x)=xf'(x)-f(x).则g'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x).因为f'(x)是增函数,所以xf''(x)＞0,又x>0,因此g'(x)=xf''(x)>0,从而g(x)在区间上是增函数,则有g(x)>g(0)=0f'(0)-f(0)=0,从而F'(x)>0,因此函数F（x)=1/x f(x)也是增函数.

楼上的证明有不严谨之处，f（x）的二阶导数不一定存在，所以接着楼上的证明只需证明xf'(x)-f(x)>0即可，x>0因为， 故只需证明f'(x)>f(x)/x即可，
f(x)/x=[f(x)-f(0)]/(x-0)>f'(0) 而f’(x)存在且为增函数(x E (0,A)) ，故
f’(x)>f’(0) 故xf'(x)-f(x)>0可证，所以F（x）是增函数...