已知函数f（x）=cos2x+asinx．

解题思路：（1）当a=2时，根据函数f（x）=-（sinx-1）²+2，-1≤sinx≤1，利用二次函数的性质求得函数的值域．
（2）若函数f（x）=-(sinx−

a

2

)2+

a2

4

+1 的最小值为-6，分当a≤0和a＞0两种情况，分别根据函数的最小值为-6，求得a的值，综合可得结论．
（3）由于f（x）=-(sinx−

a

2

)2+

a2

4

+1 的对称轴为x=[a/2]，再分对称轴在区间[-1，1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最大值．

（1）当a=2时，∵函数f（x）=cos²x+asinx=1-sin²x+2sinx+1=-（sinx-1）²+2，-1≤sinx≤1，
∴当sinx=1时，函数取得最大值为2，当sinx=-1时，函数取得最小值为-2，故函数的值域为[-2，2]．
（2）若函数f（x）=-sin²x+asinx+1=-(sinx−
a
2)2+
a2
4+1 的最小值为-6，
当a≤0时，由函数的最小值为-(−1−
a
2)2+
a2
4+1=-6，求得 a=-6．
当a＞0时，由函数的最小值为-(1−
a
2)2+
a2
4+1=-6，求得a=6．
综上可得，a=±6．
（3）由于f（x）=-(sinx−
a
2)2+
a2
4+1 的对称轴为x=[a/2]，
当[a/2]＜-1，即a＜-2时，函数f（x）的最大值为-(−1−
a
2)2+
a2
4+1=-a，
当-1≤[a/2]≤1，即-2≤a≤2时，函数f（x）的最大值为
a2
4+1，
当[a/2]＞2时，即a＞2时，-(1−
a
2)2+
a2
4+1=a．

点评：
本题考点： 三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．